Question

7．下列函数既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递减的是（　　）

• A． f（x）=x³
• B． f（x）=-|x+1|
• C． f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$
• D． f（x）=2^x+2^-x

Answer 1

分析 根据奇函数、偶函数的定义，奇函数在原点有定义时，f（0）=0，以及函数单调性的定义，复合函数单调性的判断便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．

解答 解：A．f（x）=x³在（0，1）上单调递增，∴该选项错误；
B．f（x）=-|x+1|的定义域为R，且f（0）=-1≠0；
∴f（x）不是奇函数，∴该选项错误；
C.$f（x）=ln\frac{1-x}{1+x}$的定义域为（-1，1），且$f（-x）=ln\frac{1+x}{1-x}=-ln\frac{1-x}{1+x}=-f（x）$；
∴f（x）为奇函数；
$f（x）=ln\frac{1-x}{1+x}=ln（-1+\frac{2}{1+x}）$；
$t=-1+\frac{2}{1+x}$在（-1，1）上单调递减，y=lnt单调递增；
∴f（x）在（0，1）上单调递增；
∴该选项正确；
D．f（x）的定义域为R，且f（-x）=f（x）；
∴f（x）为偶函数；
∴该选项错误．
故选：C．

点评 考查奇函数和偶函数的定义及判断方法，奇函数f（x）在原点有定义时，f（0）=0，对数函数、反比例函数的单调性，复合函数单调性的判断．