【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,证明: ;
(Ⅱ)当,且时,不等式成立,求实数的取值范围 .
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(1)要证,只需证,构造差函数,转化为证明最小值大于零,利用导数研究函数单调性,可得结果,(2)先化简所求不等式: ,分及两种情况说明,主要研究分子函数,利用二次求导可得当时, 在上是减函数, 在上是减函数, ; 在上是增函数, 在上是减函数,从而, ,因此当时,满足题意.
试题解析:(Ⅰ)证明:∵, , ,即,
令, ,则在上是增函数,
故,即命题结论成立.
(Ⅱ)原不等式等价于.
当时, ;当时, ,
原不等式等价于,
令,
令, ,
①当时,有,
令,则,故在上是减函数,即,
因此在上是减函数,从而,
所以,当时,对于,有,
当时,有,
令,则,故在上是增函数,即,
因此, 在上是减函数,从而, ,
所以当时,对于,有,
综上,当时,在,且时,不等式成立.
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【题目】在等比数列{an}中,公比q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1=3,b4=a2 , b13=a3 .
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记cn=(﹣1)nbn+an , 求数列{cn}的前n项和Sn .
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【题目】某中学为了解高中入学新生的身高情况,从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据,分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表:
(Ⅰ)在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图;
(Ⅱ)估计这50名学生身高的方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅲ)现从身高在这6名学生中随机抽取3名,求至少抽到1名女生的概率.
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【题目】已知动点到定点和定直线的距离之比为,设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点作斜率不为0的任意一条直线与曲线交于两点,试问在轴上是否存在一点(与点不重合),使得,若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)函数的图象能否与轴相切?若能与轴相切,求实数的值;否则,请说明理由;
(2)若函数在上单调递增,求实数能取到的最大整数值.
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