Question

【题目】设，若，求证：

（1）方程有实根．

（2）若﹣2＜＜﹣1且设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则≤|x1﹣x2|＜

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）针对a进行分类讨论，当a=0时，f（0）f（1）≤0显然与条件矛盾，当a≠0时，f（x）=3ax2+2bx+c为二次函数，只需考虑判别式大于等于零即可；

（Ⅱ）利用根与系数的关系将（x1﹣x2）2转化成关于的二次函数，根据的范围求出值域即可．

试题解析：

证明：（1）若a=0，则b=﹣c，

f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=﹣c2≤0，

与已知矛盾，所以a≠0．

方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4（b2﹣3ac），

由条件a+b+c=0，消去b，得△=4（a2+c2﹣ac）=

故方程f（x）=0有实根．

（2）由条件，知，，

所以（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=．

因为﹣2＜＜﹣1所以

故