【题目】在如图所示的多面体中, 平面
,
平面
,
,且
,
是
的中点.
(Ⅰ)求证: .
(Ⅱ)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
(Ⅲ)在棱上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成的角是
.若存在,指出点
的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)(3)点
为棱
的中点.
【解析】试题分析:(1)由等腰三角形性质得,再由
平面
,得
,从而根据线面垂直判定定理得
平面
,即得
.(2)利用空间向量研究二面角:先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解各面法向量,根据向量数量积求出两法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角之间关系求二面角的余弦值.(3)先设N坐标,根据向量数量积求直线
方向向量与平面
法向量夹角,再根据线面角与向量夹角关系列方程,解出N坐标,最后确定N位置
试题解析:(Ⅰ)证明:∵,
是
的中点,
∴,
又平面
,
∴,
∵,
∴平面
,
∴.
(Ⅱ)以为原点,分别以
,
为
,
轴,如图建立坐标系
.则:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量
,
则: ,
取,
,
,所以
,
设平面的一个法向量
,则:
取,
,
,所以
,
.
故平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.
(Ⅲ)在棱上存在一点
,使得直线
与平面
所成的角是
,
设且
,
,
∴,
∴,
,
,
∴,
若直线与平面
所成的的角为
,则:
,
解得,
所以在棱上存在一点
,使直线
与平面
所成的角是
,
点为棱
的中点.
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【题目】关于下列命题
①函数y=tanx在第一象限是增函数;
②函数y=cos2( ﹣x)是偶函数;
③函数y=4sin(2x﹣ )的一个对称中心是(
,0);
④函数y=sin(x+ )在闭区间[﹣
,
]上是增函数;
写出所有正确的命题的题号: .
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【题目】某出租车公司响应国家节能减排的号召,已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆,目前我国主流纯电动汽车按续航里程数.(单位:公里)分为3类,即
类:
,
类:
,
类:
,该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计,结果如下表:
类型 |
|
|
|
已行驶总里程不超过10万公里的车辆数 | 10 | 40 | 30 |
已行驶总里程超过10万公里的车辆数 | 20 | 20 | 20 |
(1)从这140辆汽车中任取一辆,求该车行驶总里程超过10万公里的概率;
(2)公司为了了解这些车的工作状况,决定抽取了14辆车进行车况分析,按表中描述的六种情况进行分层抽样,设从类车中抽取了
辆车.
①求的值;
②如果从这辆车中随机选取两辆车,求恰有一辆车行驶总里程超过10万公里的概率.
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【题目】在等比数列{an}中,公比q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1=3,b4=a2 , b13=a3 .
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记cn=(﹣1)nbn+an , 求数列{cn}的前n项和Sn .
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【题目】某中学为了解高中入学新生的身高情况,从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据,分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表:
(Ⅰ)在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图;
(Ⅱ)估计这50名学生身高的方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅲ)现从身高在这6名学生中随机抽取3名,求至少抽到1名女生的概率.
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