Question

【题目】已知函数， ，（其中是自然对数的底数）.

（1）， 使得不等式成立，试求实数的取值范围.

（2）若，求证： .

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)问题等价于，分别讨论函数 的性质可得：实数m的取值范围为.

(2) 问题等价于，令，可得的最小值为1.

令，其可看作点与点连线的斜率，可得取得最大值为1.据此即可得.

试题解析：

解：（1）因为不等式等价于，

所以， 使得不等式成立，等价于，即，

当时， ，故在区间上单调递增，所以时， 取得最小值.

又，由于， ， ，

所以，故在区间上单调递减，因此时， 取得最大值.

所以，所以.

所以实数的取值范围为.

（2）当时，要证，只要证，

只要证，

只要证，

由于， ，只要证.

下面证明时，不等式成立，

令，则，

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增.

所以当且仅当时， 取得极小值也就是最小值为1.

令，其可看作点与点连线的斜率，

所以直线的方程为，

由于点在圆，所以直线与圆相交或相切.

当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线的斜率取得最大值为1.

故时， ； 时， .

综上所述：时时， 成立.