【题目】如图, 是半圆
的直径,
是半圆
上除
、
外的一个动点,
垂直于半圆
所在的平面,
,
,
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)当三棱锥体积最大时,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)利用题意首先证得平面
,然后利用面面垂直的判断定理即可证得平面
平面
.
(2)由题意可得,当且仅当时,三棱锥
体积最大,建立空间直角坐标系可得二面角
的余弦值为
.
试题解析:
解:(1)因为是直径,所以
,
因为平面
,所以
,
因为,所以
平面
,
因为,
,
所以四边形是平行四边形,
所以,所以
平面
,
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)因为平面
,
,
所以平面
,
,
在中,
,
由(1)知,
当且仅当时,等号成立.
如图所示,建立空间直角坐标系,则,
,
,
.
则,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,
则,即
,
∴,取
,则
,
设平面的一个法向量为
,
则,即
,
∴,取
,则
,
∴,
∴二面角的余弦值为
.
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【题目】已知圆心在轴上的圆
与直线
切于点
.
(1)求圆的标准方程;
(2)已知,经过原点,且斜率为正数的直线
与圆
交于
两点.
(ⅰ)求证: 为定值;
(ⅱ)求的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班(人数均为20人)进行教学(两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致),数学期终考试成绩茎叶图如下:
(1)学校规定:成绩不低于75分的为优秀,请填写下面的联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
附:参考公式及数据
(2)从两个班数学成绩不低于90分的同学中随机抽取3名,设为抽取成绩不低于95分同学人数,求
的分布列和期望.
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【题目】某网站针对2015年中国好声音歌手A,B,C三人进行网上投票,结果如下
观众年龄 | 支持A | 支持B | 支持C |
20岁以下 | 100 | 200 | 600 |
20岁以上(含20岁) | 100 | 100 | 400 |
(1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取n人,其中有6人支持A,求n的值.
(2)在支持C的人中,用分层抽样的方法抽取5人作为一个总体,从这5人中任意选取2人,求恰有1人在20岁以下的概率.
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【题目】如图所示,扇形AOB,圆心角AOB等于60°,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=θ,当△POC面积的最大值时θ的值为___________
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【题目】平面内有向量 =(1,7),
=(5,1),
=(2,1),点X为直线OP上的一个动点.
(1)当
取最小值时,求
的坐标;
(2)当点X满足(1)的条件和结论时,求cos∠AXB的值.
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【题目】随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不断减少,“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题,为了解公众对“延迟退休”的态度,某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年龄 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人数 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
经调查年龄在[25,30),[55,60)的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人.现从这两组的被调查者中各随机选取2人,进行跟踪调查.
(I)求年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率;
(II)若选中的4人中,不赞成“延迟退休”的人数为,求随机变量
的分布列和数学期望.
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