Question

若?k∈[-

2

2

，

2

2

]使a（1+k²）≤|k|

1-k2

成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，0]
• B、（-∞，

  1

  4

  ]
• C、（-∞，

  2

  4

  ]
• D、（-∞，

  2

  8

  ]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：依题意，可将所求的不等式化为a≤

k2(1-k2)

1+k2

=f（k），k²∈[0，

1

2

]，?k∈[-

2

2

，

2

2

]使不等式成立，只需求出f（k）的最大值．构造函数1+k²=t，由f（k）=

-2( 1 t - 3 4 )2+ 1 8

即可求得f（x）_max，从而可得答案．

解答： 解：原不等式可化为a≤

k2(1-k2)

1+k2

=f（k），k²∈[0，

1

2

]，
?k∈[-

2

2

，

2

2

]使不等式成立，
所以，只需求出f（k）的最大值．
令1+k²=t，f（k）=

(t-1)(2-t) t2

=

- 2 t2 + 3 t -1

=

-2( 1 t - 3 4 )2+ 1 8

，
因为t∈[1，

3

2

]，

1

t

∈[

2

3

，1]，
显然，当

1

t

=

3

4

时，f（x）_max=

1 8

=

2

4

，
所以，实数a的取值范围是（-∞，

2

4

]，
故选：C．

点评：本题考查函数恒成立问题，分离参数a是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，考查二次函数的配方法求最值，属于难题．