Question

12．已知函数$f（x）+2=\frac{2}{{f（\sqrt{x+1}）}}$，当x∈（0，1]时，f（x）=x²，若在区间（-1，1]内，g（x）=f（x）-t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{1}{2}，+∞）$
• B． $[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$
• C． $[-\frac{1}{2}，0）$
• D． $（0，\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分别求出函数f（x）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由题可知函数在x∈（-1，1]上的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{-2x}{x+1}x∈（-1，0]\\{x^2}x∈（0，1]\end{array}\right.$，
由g（x）=f（x）-t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），
可将函数f（x）在x∈（-1，1）上的大致图象呈现如图：
根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，
因此直线的斜率t的取值范围是$（0，\frac{1}{2}]$．
故选：D．

点评 本题是最近热点的函数图象辨析问题，是一道较为复杂的难题．作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．