Question

20．已知函数f（x）=e^x，x＞0，则曲线y=f（x）与曲线$y=\frac{e^2}{4}{x^2}$的公共点的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意可得曲线y=f（x）与曲线$y=\frac{e^2}{4}{x^2}$的公共点的个数，即方程f（x）=$\frac{{e}^{2}}{4}$x²的根的个数．由f（x）=$\frac{{e}^{2}}{4}$x²即$\frac{{e}^{2}}{4}$=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，由h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，求出导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求个数．

解答 解：当x＞0时，曲线y=f（x）与曲线$y=\frac{e^2}{4}{x^2}$的公共点的个数，
即方程f（x）=$\frac{{e}^{2}}{4}$x²的根的个数．
由f（x）=$\frac{{e}^{2}}{4}$x²即$\frac{{e}^{2}}{4}$=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，由h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
则h（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增，
∴h（2）是h（x）的极小值即为最小值，且为$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴曲线y=f（x）与曲线y=$\frac{{e}^{2}}{4}$x²的公共点的个数为1，
故选：B．

点评 本题考查函数方程的转化思想的运用，考查构造函数法，运用导数求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．