Question

10．已知在△ABC中，（2$\overrightarrow{BA}$-3$\overrightarrow{BC}$）•$\overrightarrow{CB}$=0，则角A的最大值为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示出个向量，得出三角形三边的关系，利用余弦定理和基本不等式得出cosA的范围．

解答 解：∵（2$\overrightarrow{BA}$-3$\overrightarrow{BC}$）•$\overrightarrow{CB}$=0，即（2$\overrightarrow{BA}$-3（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$））•（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$）=0，
即（$\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$）=0，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$-4$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+3${\overrightarrow{AC}}^{2}$=0，
设A，B，C所对的边为a，b，c，
则c²-4bccosA+3b²=0，
又cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴b²-c²+2a²=0，即a²=$\frac{1}{2}$（c²-b²），
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-\frac{1}{2}（{c}^{2}-{b}^{2}）}{2bc}$=$\frac{3{b}^{2}+{c}^{2}}{4bc}$≥$\frac{2\sqrt{3}bc}{4bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴0＜A≤$\frac{π}{6}$．
故答案为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，解三角形等知识，属于中档题．