Question

19．设函数f（x）=xln（x-1）-a（x-2）．
（Ⅰ）若a=2017，求曲线f（x）在x=2处的切线方程；
（Ⅱ）若当x≥2时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2），求出切线方程即可；
（Ⅱ）设函数g（x）=ln（x-1）-$\frac{a（x-2）}{x}$，（x≥2），于是问题转化为g（x）≥0对任意的x≥2恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2017时，f（x）=xln（x-1）-2017（x-2），
则f′（x）=ln（x-1）+$\frac{x}{x-1}$-2017，故f′（2）=-2015，
又f（2）=0，
故切线方程是：y-0=-2015（x-2），
即2015x+y-4030=0；
（Ⅱ）由f（x）≥0得xln（x-1）-a（x-2）≥0，而x≥2，
故ln（x-1）-$\frac{a（x-2）}{x}$≥0，
设函数g（x）=ln（x-1）-$\frac{a（x-2）}{x}$，（x≥2），
于是问题转化为g（x）≥0对任意的x≥2恒成立，
注意到g（2）=0，故若g′（x）≥0，则g（x）递增，
从而g（x）≥g（2）=0，而g′（x）=$\frac{{x}^{2}-2a（x-1）}{（x-1{）x}^{2}}$，
∴g′（x）≥0等价于x²-2a（x-1）≥0，
分离参数得a≤$\frac{{x}^{2}}{2（x-1）}$=$\frac{1}{2}$[（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2]，
由均值不等式得$\frac{1}{2}$[（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2]≥2，
当且仅当x=2时取“=”成立，于是a≤2，
当a＞2时，设h（x）=x²-2a（x-1），
∵h（2）=4-2a=2（2-a）＞0，
又抛物线h（x）=x²-2a（x-1）开口向上，
故h（x）=x²-2a（x-1）有2个零点，
设两个零点为x₁，x₂，则x₁＜2＜x₂，
于是x∈（2，x₂）时，h（x）＜0，故g′（x）＜0，g（x）递减，
故g（x）＜g（2）=0，与题设矛盾，不合题意，
综上，a的范围是（-∞，2]．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．