Question

2．如图，三棱柱ABF-DCE中，∠ABC=120°，BC=2CD，AD=AF，AF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：BD⊥EC；
（Ⅱ）若AB=1，求四棱锥B-ADEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明ED⊥BD，BD⊥CD．推出BD⊥平面ECD．然后证明BD⊥EC；
（Ⅱ）作BH⊥AD于H，求出高BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，然后求解几何体的体积．

解答 （Ⅰ）证明：三棱柱ABF-DCE中，AF⊥平面ABCD．∴DE∥AF，ED⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴ED⊥BD，
又ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，故∠BCD=60°．
∵BC=2CD，故∠BDC=90°．故BD⊥CD．
∵ED∩CD=D，∴BD⊥平面ECD．
∵EC?平面ECD，
∴BD⊥EC；
（Ⅱ）解：由BC=2CD，可得AD=2AB，∵AB=1，∴AD=2，作BH⊥AD于H，
∵AF⊥平面ABCD，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC=120°，
∴BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{B-ADEF}=\frac{1}{3}×（2×2）×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体四棱锥B-ADEF的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．