Question

17．已知 f（x）=$\frac{x}{2x+1}$（x＞0），f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*，则 f_s（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值是$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 易知f（x）=$\frac{x}{2x+1}$在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，且f（x）＞0；从而依次代入化简即可．

解答 解：f（x）=$\frac{x}{2x+1}$在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，且f（x）＞0；
f₁（x）=f（x）=$\frac{x}{2x+1}$，在[$\frac{1}{2}$，1]上递增，
故f₁（x）_min=$\frac{1}{4}$，
f₂（x）_min=f（f₁（x）_min）=f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{6}$，
f₃（x）_min=f（f₂（x）_min）=f（$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{8}$，
f₄（x）_min=f（f₃（x）_min）=f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{10}$，
f₅（x）_min=f（f₄（x）_min）=f（$\frac{1}{10}$）=$\frac{1}{12}$．
故答案为：$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，主要是单调性的运用，同时考查整体思想的应用，考查运算能力，属于中档题．