Question

11．已知x＞0，y＞0，2x+y=1，若4x²+y²+$\sqrt{xy}$-m＜0恒成立，则m的取值范围是（　　）

• A． m＜$\frac{17}{16}$
• B． m＞$\frac{17}{16}$
• C． m≤$\frac{17}{16}$
• D． m＞0

Answer 1

分析 题目转化为求4x²+y²+$\sqrt{xy}$的最大值问题，由题意和基本不等式以及二次函数的知识可得．

解答 解：要使4x²+y²+$\sqrt{xy}$-m＜0恒成立，只需m＞4x²+y²+$\sqrt{xy}$恒成立，
∵x＞0，y＞0，2x+y=1，∴1=2x+y≥2$\sqrt{2xy}$，∴0＜$\sqrt{xy}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∵4x²+y²+$\sqrt{xy}$=（2x+y）²-4xy+$\sqrt{xy}$=1-4xy+$\sqrt{xy}$=-4（$\sqrt{xy}$-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{17}{16}$，
∴4x²+y²+$\sqrt{xy}$的最大值为$\frac{17}{16}$，
∴m＞$\frac{17}{16}$
故选：B

点评 本题考查函数恒成立问题，涉及基本不等式和配方法以及二次函数的最值，属中档题．