Question

3．已知函数f（x）=x³-bx²+2cx的导函数的图象关于直线x=2 对称．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）无极值，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （I）f′（x）=3x²-2bx+2c，由于导函数f′（x）的图象关于直线x=2 对称，利用二次函数的对称性可得$\frac{b}{3}$=2，解得b即可．
（II）由（I）可知：f′（x）=3x²-12x+2c=3（x-2）²+2c-12，当2c-12≥0，f′（x）≥0，此时函数f（x）无极值，解出即可．

解答 解：（I）f′（x）=3x²-2bx+2c，
∵导函数f′（x）的图象关于直线x=2 对称，
∴$\frac{b}{3}$=2，解得b=6．
（II）由（I）可知：f（x）=x³-6x²+2cx，
f′（x）=3x²-12x+2c=3（x-2）²+2c-12，
当2c-12≥0，即c≥6时，f′（x）≥0，此时函数f（x）无极值．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、二次函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．