Question

12．设f（x）是定义在区间[-1，1]上的偶函数，g（x）与f（x）的图形关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³（a为实数），求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 先设f（x）的图象上任意点（x，f（x）），求出它关于直线x=1的对称点的坐标，由题意给出x的范围，再代入g（x）的解析式化简，再由偶函数的关系式求出另外一部分的解析式，最后用分段函数的形式表示出来

解答 解：（1）设f（x）的图象上任意点（x，f（x）），
它关于直线x=1的对称点（2-x，f（x））在g（x）的图象上，
当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，且g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³，
∴f（x）=g（2-x）=-2ax+4x³，
当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），∴f（-x）=2ax-4x³，
又∵f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，
∴f（x）=2ax-4x³，
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2ax+4{x}^{3}，-1≤x≤0}\\{2ax-4{x}^{3}，0＜x≤1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的对称性，奇偶性的综合应用，考查函数的解析式，属于中档题．