Question

7．下列命题：
①函数y=sinx在第一象限是增函数；
②函数y=|cosx+$\frac{1}{2}$|的最小正周期是π；
③函数y=tan$\frac{x}{2}$的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；
④函数y=lg（1+2cos2x）的递减区间是[kπ，kπ+$\frac{π}{4}$），k∈Z；
⑤函数y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象可由函数y=3sin2x的图象按向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{π}{3}$，0）平移得到．
其中正确的命题序号是③．

Answer 1

分析 利用函数的单调性定义，易判断①的对错；求出函数周期性判断②的正误；根据正切函数的对称性，可判断③；根据复合函数单调性及对数函数和余弦函数的图象和性质判断④；据函数图象的平移变换法则判断⑤．

解答 解：第一象限的角是无数个不连续的区间构成，由函数单调性的定义知①错误；
根据函数的周期性判断函数y=|cosx+$\frac{1}{2}$|的最小正周期是2π，故②错误；
令$\frac{x}{2}$=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，得x=kπ，k∈Z，故函数y=tan$\frac{x}{2}$的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z，故③正确；
函数y=lg（1+2cos2x）的递减区间是[kπ，kπ+$\frac{π}{3}$），（k∈Z），故④错误；
函数y=3sin2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到y=3sin2（x+$\frac{π}{3}$）=3sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的图象，故⑤错误．
∴正确命题的序号为③．
故答案为：③．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的对称性，函数的零点，函数图象的平移变换，函数的单调性等知识点，综合性强，但难度不大，属中档题．