Question

8．已知数列{a_n}的通项为a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*），我们把使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为整数的n叫做“优数”，则在（1，2012]内的所有“优数”的和为2026．

Answer 1

分析 在区间（1，2012]中找出所有的“优数”之后用数列的求和公式进行计算．

解答 解：∵a_n=log_n+1（n+2）
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•$\frac{lg5}{lg4}$ …$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=$\frac{lg（n+2）}{lg2}$=log₂（n+2）
若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k
在（1，2012]内的所有整数分别为：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2
∴所求的数的和为2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=$\frac{4（1{-2}^{9}）}{1-2}$-18=2026．
故答案为：2026．

点评 本题考查了对数的运算性质，考查了数列和的求法，把a₁•a₂…a_n化简转化为对数的运算是解答的关键，体现了转化的思想，属中档题．