抛物线的方程为
,过抛物线
上一点
(
)作斜率为
的两条直线分别交抛物线
于
两点(
三点互不相同),且满足
(
且
).
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;
(2)设直线上一点
,满足
,证明线段
的中点在
轴上;
(3)当=1时,若点
的坐标为
,求
为钝角时点
的纵坐标
的取值范围.
(1)焦点坐标为,准线方程为
;(2)证明详见解析;(3)
.
解析试题分析:(1)数形结合,依据抛物线的标准方程写出焦点坐标和准线方程;(2)设直线
的方程为
,直线
的方程为
,分别联立直线
与抛物线的方程消去
得到关于
的一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系,得到
、
,再由
求出点
的横坐标,即可证明
;(3)
为钝角时,必有
,用
表示
,通过
的范围求
的范围即可.
试题解析:(1)由抛物线的方程
(
)得,焦点坐标为
,准线方程为
(2)证明:设直线的方程为
,直线
的方程为
点和点
的坐标是方程组
的解将②式代入①式得,于是
,故
③
又点和点
的坐标是方程组
的解将⑤式代入④式得于是
,故
由已知得,,则
⑥
设点的坐标为
,由
,则
将③式和⑥式代入上式得,即
所以线段
的中点在
轴上
(3)因为点在抛物线
上,所以
,抛物线方程为
由③式知,代入
得
将代入⑥式得
,代入
得
因此,直线分别与抛物线
的交点
的坐标为
,
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆(
>
>0)的离心率
,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点
,已知点
的坐标为(
,0),点
(0,
)在线段
的垂直平分线上,且
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(0,),且长轴长与短轴长的比是
∶1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB分别交椭圆C于另外两点A,B,求证:直线AB的斜率为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;
(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心为原点
,离心率
,其一个焦点在抛物线
的准线上,若抛物线
与直线
相切.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)当点在椭圆
上运动时,设动点
的运动轨迹为
.若点
满足:
,其中
是
上的点,直线
与
的斜率之积为
,试说明:是否存在两个定点
,使得
为定值?若存在,求
的坐标;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆、抛物线
的焦点均在
轴上,
的中心和
的顶点均为原点
,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录如下:
、
、
、
.
(1)经判断点,
在抛物线
上,试求出
的标准方程;
(2)求抛物线的焦点
的坐标并求出椭圆
的离心率;
(3)过的焦点
直线与椭圆
交不同两点
且满足
,试求出直线的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(13分)已知圆O:x2+y2=3的半径等于椭圆E:=1(a>b>0)的短半轴长,椭圆E的右焦点F在圆O内,且到直线l:y=x-
的距离为
-
,点M是直线l与圆O的公共点,设直线l交椭圆E于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)求椭圆E的方程;
(2)求证:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的离心率与双曲线
的离心率互为倒数,直线
与以原点为圆心,以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左焦点为
,右焦点为
,直线
过点
且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直
于点
,线段
垂直平分线交
于点
,求点
的轨迹
的方程;
(3)设第(2)问中的与
轴交于点
,不同的两点
在
上,且满足
,求
的取值范围.
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