Question

【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点，将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图）.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）要证，只需证明平面BCDE即可；

（2）以O为原点，OB，OC，所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，确定出点坐标，求出平面的法向量坐标，即可求解；

（3）假设满足条件的点P存在，设，，由四边形BCDE为菱形，且，结合（1）可知，平面，得到为平面的一个法向量，据此可求解的值.

（1）如图1，在等腰梯形ABCD中，由，，

，为中点，所以为等边三角形.

如图2，因为O为BE的中点，所以，

又因为平面平面BCDE，且平面平面，

所以平面BCDE，所以.

（2）连结OC，由已知得，又O为BE的中点，

所以，由（1）知平面BCDE，

所以，，，，两两垂直，

以O为坐标原点，OB，OC，所在的直线分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系（如图），

，

，

设平面的法向量为，

，即，令，则，

平面的一个法向量为，

设与平面所成角为，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为；

（3）假设侧棱上存在点P，使得平面，

设，

，

由四边形BCDE为菱形，，

分别为中点，，

由（1）得平面，

是平面的一个法向量，平面，

，

所以满足条件的点存在，且