Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F₁，F₂，且离心率为

3

2

．
（1）若过F₁的直线交椭圆E于P，Q两点，且

PF1

=3

F1Q

，求直线PQ的斜率；
（2）若椭圆E过点（0，1），且过F₁作两条互相垂直的直线，它们分别交椭圆E于A，C和B，D，求四边形ABCD面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的第二定义，构建三角形，求得三边长，即可求得直线PQ的斜率；
（2）求出椭圆方程，当AC为2a，DB⊥x轴时，面积有最大值，最大值为2；当两条直线斜率都存在时，求出AC，BD的长，表示出四边形ABCD面积为S=

1

2

|AC||BD|，利用基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）设椭圆的左准线为l，作PD⊥x轴于D，作PN⊥l于N，由第二定义得|PN|=

2 3

3

|PF₁|．
作QM⊥l于M，得|QM|=

2 3

3

|F₁Q|=

2 3

9

|PF₁|，
作QE⊥PN于E，交轴于点A得|EP|=4|AF₁|=

4 3

9

|PF₁|，
∴|F₁D|=3|AF₁|=

3

3

|PF₁|，
∴|PD|=

6

3

|PF₁|，
∴直线PQ的斜率为±

|PF1|

|F1D|

=±

2

；
（2）由题意，b=1，又

c

a

=

3

2

，∴a=2，b=1，c=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
∵DB、AC为过焦点的两条直线，∴当AC为2a，DB⊥x轴时，面积有最大值，最大值为2；
当两条直线斜率都存在时，F₁（-

3

，0），设直线AC的方程为y=k（x-

3

）
与椭圆联立消去y，（

1

4

+k2）x²-2

3

k2x+3k²-1=0
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2 3 k2

1 4 +k2

，x₁x₂=

3k2-1

1 4 +k2

∴|AC|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

×

(x1+x1)2-4x1x2

=

k2+1

1 4 +k2

同理可得|BD|=

4+4k2

k2+4

，
∴四边形ABCD面积为S=

1

2

|AC||BD|=

1

2

×

2+k2+ 1 k2

17 16 + 1 4 (k2+ 1 k2 )

令t=k2+

1

k2

，则t≥2，∴S=

1

2

×

2+t

17 16 + 1 4 t

=2×

2+t

17 4 +t

=2（1-

9 4

17 4 +t

）
∵t≥2，∴0＜

9 4

17 4 +t

≤

9

25

，∴

32

25

≤S＜2
∴四边形ABCD面积最小值为

32

25

．

点评：本题考查椭圆的第二定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．