Question

13．设x，y，z为整数，且x²+y²+z²=3，证明：
（1）xy+yz+zx≤3；
（2）$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$≥3．

Answer 1

分析 （1）运用重要不等式可得x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，z²+x²≥2zx，累加即可得证；
（2）由柯西不等式可得（xy+yz+zx）（$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$）≥（$\sqrt{xy•\frac{{z}^{2}}{xy}}$+$\sqrt{yz•\frac{{x}^{2}}{yz}}$+$\sqrt{zx•\frac{{y}^{2}}{zx}}$）²，化简整理，结合（1）的结论即可得证．

解答 证明：（1）由x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，z²+x²≥2zx，
相加可得x²+y²+z²≥xy+yz+zx，
由x²+y²+z²=3，可得xy+yz+zx≤3（当x=y=z取得等号）；
（2）由柯西不等式可得（xy+yz+zx）（$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$）
≥（$\sqrt{xy•\frac{{z}^{2}}{xy}}$+$\sqrt{yz•\frac{{x}^{2}}{yz}}$+$\sqrt{zx•\frac{{y}^{2}}{zx}}$）²=（z+x+y）²
=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）=3+2（xy+yz+zx），
则$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$≥2+$\frac{3}{xy+yz+zx}$，
由（1）可得$\frac{1}{xy+yz+zx}$≥$\frac{1}{3}$，
则$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$≥2+1=3，
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用重要不等式和柯西不等式，以及不等式的性质，考查推理能力，属于中档题．