Question

【题目】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°．PA⊥面ABCD，且PA=3．F在棱PA上，且AF=1，E在棱PD上．

（Ⅰ）若CE∥面BDF，求PE：ED的值；

（Ⅱ）求二面角B-DF-A的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）arctan

【解析】

（Ⅰ）根据线面平行的性质定理进行推理得到E为PD中点即可求PE：ED的值；

（Ⅱ）根据二面角的定义作出二面角的平面角，即可求二面角B﹣DF﹣A的大小．

（Ⅰ）过E作EG∥FD交AP于G，连接CG，连接AC交BD于O，连接FO．

∵EG∥FD，EG面BDF，FD面BDF，∴EG∥面BDF，又EG∩CE=E，CE∥面BDF，EG，CE面CGE，

∴面CGE∥面BDF，又CG面CGE，∴CG∥面BDF，

又面BDF∩面PAC=FO，CG面PAC，∴FO∥CG．

又O为AC中点，∴F为AG中点，且AF=1，∴AF=FG=1，∵PA=3，∴FG=GP=1，

∴E为PD中点，PE：ED=1：1．

（Ⅱ）过点B作BH⊥直线DA交DA延长线于H，过点H作HI⊥直线DF交DF于I，

∵PA⊥面ABCD，∴面PAD⊥面ABCD，∴BH⊥面PAD，由三垂线定理可得DI⊥IB，

∴∠BIH是二面角B-DF-A的平面角．由题易得AH=，BH=，HD=，

且=，∴HI=，∴tan∠BIH=×=，

∴二面角B-DF-A的大小为arctan．