Question

已知函数f(x)=

2

sin2x+

2

cos2x，x∈R．
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）若f（

α

2

-

π

8

）=

3

2

，α是第二象限的角，求sin2α．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦公式对解析式化简，由正弦函数的最值和三角函数的周期公式求出函数的最大值和周期；
（2）将x=

α

2

-

π

8

代入由（1）求出的解析式，化简后求出正弦值，再由角的范围和平方关系求出余弦值，再代入二倍角的正弦公式求值即可．

解答：解（1）由题意得，f(x)=2(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)
=2sin（2x+

π

4

），
∴f（x）的最大值为2，
且函数的最小正周期为T=

2π

2

=π，
（2）由（1）知，f(x)=2sin(2x+

π

4

)，
∵f(

α

2

-

π

8

)=

3

2

，∴2sinα=

3

2

，
即sinα=

3

4

，
又∵α是第二象限的角，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

13

4

，
∴sin2α=2sinαcosα=2×

3

4

×（-

13

4

）=-

39

8

．

点评：本题考查了倍角公式和两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质综合应用，考查了的知识点较多，需要熟练掌握．