Question

2．在底面半径为R，高为h的圆锥内有一内接圆柱，则内接圆柱的圆柱的高为$\frac{h}{2}$时，其侧面积最大值为$\frac{1}{2}$πRh．

Answer 1

分析 设所求的圆柱的底面半径为r．它的侧面积S=2πrx，mh $\frac{r}{R}$=$\frac{h-x}{h}$，得r=R-$\frac{R}{h}$•x，从而得到圆柱的侧面积S是关于x的二次函数S=-$\frac{2πR}{h}$x²+2πRx，由此能求出结果．

解答 解：圆锥及其内接圆柱的轴截面如图所示．
设所求的圆柱的底面半径为r．它的侧面积S=2πrx，
∵$\frac{r}{R}$=$\frac{h-x}{h}$，∴r=R-$\frac{R}{h}$•x，
∴S=2πRx-$\frac{2πR}{h}$x²，
圆柱的侧面积S是关于x的二次函数：
S=-$\frac{2πR}{h}$x²+2πRx，
∵S的表达式中x²的系数小于0，
∴这个二次函数有最大值，
这时圆柱的高x=$\frac{h}{2}$，
即当圆柱的高是已知圆锥的一半时，它的侧面积最大．
侧面积的最大值为S_max=-$\frac{2πR}{h}•（\frac{h}{2}）^{2}$+2$πR•\frac{h}{2}$=$\frac{1}{2}πRh$．
故答案为：$\frac{h}{2}$，$\frac{1}{2}πRh$．

点评 本题考查圆锥内接圆柱的侧面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二次函数的性质的合理运用．