Question

14．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a₅-a₃=13，S₄=16．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）设数列{b_n}满足b_n=（-1）ⁿa_n，且{b_n}的前n项和为T_n；
①求数列{b_n}的前n项和T_n；
②若对一切正整数n，不等式λT_n＜[a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n]•2^n-1恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由2a₅-a₃=13，S₄=16，求出首项和公差，再根据等差数列的求和公式即可得到，
（2）①当n为偶数时，当n为奇数时，分别求出前n项和，
②当n为偶数时，由λT_n＜[a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n]•2^n-1，得λ•2k＜4^k，构造函数设f（k）=$\frac{{4}^{k}}{2k}$，求出b_n的最大值，代入2λ-λ²＞（2n-3）（2-a_n）求解得答案．利用函数的单调性求出函数最小值，当n为奇数时，从而得到λ＞-4^k，求出函数的最大值，即可求出实数λ的取值范围

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d．
因为2a₅-a₃=13，S₄=16，
所以4a1+6d=16．a1+2d=13，解得a₁=1，d=2，
所以a_n=2n-1，S_n=n²．
（2）①当n为偶数时，设n=2k，k∈N*，
则T_2k=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）+…+（a_2k-a_2k-1）=2k．
当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N*，
则T_2k-1=T_2k-（-1）^2ka_2k=2k-（4k-1）=1-2k．
所以Tn=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为偶数}\\{-n，n为奇数}\end{array}\right.$
②当n为偶数时，设n=2k，k∈N*，
则T_2k=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）+…+（a_2k-a_2k-1）=2k．
代入不等式λT_n＜[a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n]•2^n-1，得λ•2k＜4^k，从而λ＜$\frac{{4}^{k}}{2k}$．
设f（k）=$\frac{{4}^{k}}{2k}$，则f（k+1）-f（k）=$\frac{{4}^{k+1}}{2k+2}$-$\frac{{4}^{k}}{2k}$=$\frac{{4}^{k-1}（6k-2）}{k（k+1）}$．
因为k∈N*，所以f（k+1）-f（k）＞0，所以f（k）是递增的，
所以f（k）_min=2，
所以λ＜2．
当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N*，
则T_2k-1=T_2k-（-1）^2ka_2k=2k-（4k-1）=1-2k．
代入不等式λT_n＜[a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n]•2^n-1，得λ•（1-2k）＜（2k-1）4^k，
从而λ＞-4^k．
因为k∈N*，所以-4^k的最大值为-4，所以λ＞-4．
综上，λ的取值范围为-4＜λ＜2．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．