Question

5．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.\end{array}$（其中θ为参数），点M是曲线C₁上的动点，点P在曲线C₂上，且满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$．
（Ⅰ）求曲线C₂的普通方程；
（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=$\frac{2π}{3}$与曲线C₁、C₂分别交于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），M（x′，y′），根据$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，可得$\left\{\begin{array}{l}x=2{x^'}\\ y=2{y^'}\end{array}\right.$，再根据点M在曲线C₁上，建立x、y间的关系是．
（2）依据条件分别求得A、B的极坐标，可得|AB|的值．

解答 解：（1）设P（x，y），M（x′，y′），∵$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=2{x^'}\\ y=2{y^'}\end{array}\right.$，…（3分）
∵点M在曲线C₁上，$\left\{\begin{array}{l}{x′=1+\sqrt{3}cosθ}\\{y′=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，∴（x′-1）²+y′²=3，
曲线C₂的普通方程为 （x-2）²+y²=12；…（5分）
（2）曲线C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-2=0，
将$θ=\frac{2π}{3}$代入得ρ=1，∴A的极坐标为$（{1，\frac{2π}{3}}）$，…（7分）
曲线C₂的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ-8=0，
将$θ=\frac{2π}{3}$代入得ρ=2，∴B的极坐标为$（{2，\frac{2π}{3}}）$，
∴|AB|=2-1=1．…（12分）

点评 本题主要考查参数方程、极坐标、直角坐标间的互化，属于基础题．