Question

20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²+bx，其中函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．
（1）确定a与b的关系；
（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用切线与x轴平行，推出结果．
（2）求出函数的导数与函数g（x）的定义域，通过当a=0时，当a＞0时，分别求解函数的极值点，判断函数的单调性，即可得到结论．

解答 解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax²+bx，
则$g'（x）=\frac{1}{x}+2ax+b$…（2分）
由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，
∴b=-2a-1…（4分）
（2）由（1）得$g'（x）=\frac{{2a{x^2}-（{2a+1}）x+1}}{x}=\frac{{（{2ax-1}）（{x-1}）}}{x}$．
∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），
∴当a=0时，$g'（x）=-\frac{x-1}{x}$．
由g'（x）＞0，得0＜x＜1，由g'（x）＜0，得x＞1，…（6分）
当a＞0时，令g'（x）=0，得x=1或$x=\frac{1}{2a}$，…（7分）
若$\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$，
由g'（x）＞0，得x＞1或$0＜x＜\frac{1}{2a}$，
由g'（x）＜0，得$\frac{1}{2a}＜x＜1$；…（9分）
若$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$，
由g'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{2a}$或0＜x＜1，
由g'（x）＜0，得$1＜x＜\frac{1}{2a}$…（11分）
若$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0…（12分）
综上可得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，
在$（{1，\frac{1}{2a}}）$上单调递减，在$（{\frac{1}{2a}，+∞}）$上单调递增；
当$a=\frac{1}{2}$时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当$a＞\frac{1}{2}$时，函数g（x）在$（{0，\frac{1}{2a}}）$上单调递增，
在$（{\frac{1}{2a}，1}）$上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的切线方程以及函数的单调性，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．