Question

10．设α∈（0，$\frac{π}{3}$），满足$\sqrt{6}$sinα+$\sqrt{2}$cosα=$\sqrt{3}$．
（1）求cos（α+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求cos（2α+$\frac{π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数求出三角函数值，利用同角三角函数基本关系式求解即可．
（2）利用两角和与差的余弦函数以及二倍角公式化简求解即可．

解答 解：（1）α∈（0，$\frac{π}{3}$），满足$\sqrt{6}$sinα+$\sqrt{2}$cosα=$\sqrt{3}$．
可得2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα）=$\sqrt{3}$．
可得sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
（2）由（1）可得cos2（α+$\frac{π}{6}$）=1-2$（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
sin2（α+$\frac{π}{6}$）=2×$\frac{\sqrt{10}}{4}×\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
cos（2α+$\frac{π}{12}$）=cos[2（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{4}$]=cos2（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{4}$+sin2（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}$$+\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．