Question

13．已知函数f（x）的定义域[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．

x	-1	0	2	4	5
y	1	2	0	2	1

（1）方程f[f（x）]=0的不等实根的个数为2；
（2）方程f[f（x）]-a=0，a∈[-1，2]的不等实根的个数构成的集合为{1，2，4}．

Answer 1

分析 （1）由导数图象可知导函数的符号，从而可判断函数的单调性，得函数的极值，方程f[f（x）]=0，则f（x）=2，可得结论；
（2）分类讨论，结合函数值的范围，可得结论．

解答 解：（1）由导数图象可知，当-1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，
所以当x=0和x=4时，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，
当x=2时，函数取得极小值f（2）=0．
方程f[f（x）]=0，则f（x）=2，∴x=0或4；
（2）由（1），a=0时，不等实根的个数为2；
0＜a＜2时，不等实根的个数为4；
a=2时，f（x）=0或4，不等实根的个数为1，
∴方程f[f（x）]-a=0，a∈[-1，2]的不等实根的个数构成的集合为{1，2，4}．
故答案为：2：{1，2，4}．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．