Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．
（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；
（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣2时，不等式f（x）≤2x+1为|x﹣2|﹣2x+3≤0．

x≥2时，不等式化为x﹣2﹣2x+3≤0，即x≥1，∴x≥2；

x＜2时，不等式化为﹣x+2﹣2x+3≤0，即x≥ ，∴ ≤x≤2，

综上所述，不等式的解集为{x|x≥ }；

（2）解：x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，即|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，

∵|a+a|﹣|x+1|≤|a﹣1|，

∴|a﹣1|≤2a，∴ ．

【解析】（1）当a=﹣2时，分类讨论，即可求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，求出左边的最大值，即可求a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．