Question

在平面直角坐标系中，若点M，N同时满足：①点M，N都在函数y=f（x）图象上；②点M，N关于原点对称，则称点对（M，N）是函数y=f（x）的一个“望点对”（规定点对（M，N）与点对（N，M）是同一个“望点对”）．那么函数f（x）=

1 x               x＞0 -x2-2x   x≤0

的“望点对”的个数为

2

．

Answer 1

分析：根据“望点对”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f（x）=

1

x

，x＞0关于原点对称的图象，利用对称图象在x≤0上两个图象的交点个数，即为“望点对”的个数．

解答：解：由题意知函数f（x）=

1

x

，x＞0关于原点对称的图象为-y=-

1

x

，
即y=

1

x

，x＜0
在x≤0上作出两个函数的图象如图，
由图象可知两个函数在x＜0上的交点个数只有一个，
∴函数f（x）的“望点对”有1个，
又∵f（0）=0，
∴（0，0）也是函数f（x）的一个“望点对”，
∴函数f（x）的“望点对”共有2个．
另解：函数f（x）=-x²-2x，x≤0，
关于原点对称的函数为-y=-x²+2x，
即y=x²-2x，x≥0，
作出函数y=x²-2x，x≥0和函数f（x）的图象，
由图2可知，两个函数图象的交点个数有2个，
即函数f（x）的“望点对”共有2个．
故答案为：2．

点评：本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．本题主要容易出错的地方在判断原点时，容易漏掉原点也满足条件．