Question

在平面直角坐标系xOy中，点F与点E（-

2

，0）关于原点O对称，M是动点，且直线EM与FM的斜率之积等于-

1

2

．设点M的轨迹为曲线C，经过点(0，

2

)且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）设A(

2

，0)，曲线C与y轴正半轴的交点为B，是否存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点M（x，y），由题意得点F（

2

，0），

y-0

x+ 2

•

y-0

x- 2

= -1，化简可得曲线C的方程．
（Ⅱ） 直线l经过圆和y轴的交点（0，

2

），直线l与曲线C有两个不同的交点，故直线l与曲线C不能相切，k≠0．
（Ⅲ） 把直线l的方程代入曲线C的方程，利用根与系数的关系，求得 

OP

+

OQ

 的坐标，再利用

OP

+

OQ

与

AB

共线，求出 k值．

解答：解：（Ⅰ）设点M（x，y），由题意得点F（

2

，0），

y-0

x+ 2

•

y-0

x- 2

= -1，化简可得 x²+y²=2，
故曲线C的方程为  x²+y²=2，表示以原点为圆心，以

2

为半径的圆．
（Ⅱ）∵点(0，

2

)是圆和y轴的交点，经过点(0，

2

)且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，
∴线l与曲线C不能相切，∴k≠0．
（Ⅲ） 把直线l的方程 y-

2

=k（x-0）代入曲线C的方程 x²+y²=2 得，（1+k²）x²+2

2

kx=0．
设P（x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂），则  x₁+x₂=-

2 2 k

1 +k2

，x₁•x₂=0．
∴

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，kx₁+

2

+kx₂+

2

 ）=（-

2 2 k

1 +k2

，-

2 2 k2

1 +k2

+2

2

 ）．
由B（0，

2

），A(

2

，0)，∴

AB

=（-

2

，

2

 ）．∵向量

OP

+

OQ

与

AB

共线，
∴-

2 2 k

1 +k2

•

2

-（-

2

）（-

2 2 k2

1 +k2

+2

2

 ）=0，

4-4k

1+k2

=0，∴k=1．
即存在常数 k=1 满足题中的条件．

点评：本题考查直接利用条件求点的轨迹方程的方法，向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，准确计算是解题的难点．