Question

【题目】已知函数，

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围；

（3）函数的图像上是否存在两点，且，使得直线AB的斜率k满足：？若存在，求出与之间的关系；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；(3)不存在

【解析】

（1）求出切点和斜率，利用点斜式，可求出切线方程；

（2）分离参数，构造函数，通过求函数的最值，可求出a的取值范围；

（3）见解析.

解：（1）由题意得，所以，

因为，所以，

所以所求切线方程为，即

（2）由，得，

即恒成立

因为，所以恒成立,

令，则,

令，则,

所以在上单调递增，

所以，

所以，所以在上单调递增，

由洛必达法则可知，

所以

（3）由题意知

,

因为，

所以

若，则

所以,

所以，

令，则，,

令，则，

所以在上单调递增，

所以,

所以方程无解，所以函数的图像上是不存在两点，且，使得直线AB的斜率k满足：.