Question

【题目】已知函数.

（1）若，分析的单调性.

（2）若对，都有恒成立，求的取值范围；

（3）证明：对任意正整数均成立，其中为自然对数的底数.

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为，无减区间；（2）；（3）证明见解析

【解析】

(1)直接对函数求导,利用导数研究其单调性即可;

(2)对求导后,再根据的取值进行分情况讨论即可;

(3)题目可变形为证明不等式恒成立,又由(1)可得在恒成立,则令,即有,据此即可推出结论.

(1),,,,

故在上恒成立,

所以的单调增区间为,无减区间.

(2).

∵,∴,

故:①当时,,在上单调递减,

而,∴,不符合题意;

②当时,即,在上单调递增,

而,∴符合题意;

③当时,,,在上单调递减,

而,∴此时,不符合题意;

综上所述,的取值范围为.

(3)证明:要证明,

等价于证明,

由(1)可得在恒成立,

令,,则,

∴,

∴

∴成立,

∴成立.