Question

已知函数f(x)=asinx-

1

2

cos2x+a-

3

a

+

1

2

，a∈R且a≠0．
（1）若对?x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范围；
（2）若a≥2，且?x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)=sin2x+asinx+a-

3

a

．
令t=sinx（-1≤t≤1），则g(t)=t2+at+a-

3

a

，
对任意x∈R，f（x）≤0恒成立的充要条件是

g(-1)=1- 3 a ≤0 g(1)=1+2a- 3 a ≤0.

解得a的取值范围为（0，1]；
（2）因为a≥2，所以-

a

2

≤-1，g（t）在[-1，1]上递增，
所以g(t)min=g(-1)=1-

3

a

，
因此f(x)min=1-

3

a

．
于是，存在x∈R，使得f（x）≤0的充要条件是1-

3

a

≤0，解得0＜a≤3，
故a的取值范围是[2，3]．