Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=

3

．
（1）证明：CD⊥平面PAC；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD可证明PA⊥CD，在△ACD中，由已知可得AC²+CD²=AD²，即CD⊥AC，又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，从而证明CD⊥平面PAC．
（2）先求S_{四边形ABCD}=AB×AC=

3

，从而由V_P-ABCD=

1

3

×S_{四边形ABCD}×PA，即可求解．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD…（2分）
在△ACD中，AD=2，CD=1，AC=

3

，
∴AC²+CD²=AD²
∴∠ACD=90°，即CD⊥AC…（4分）
又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴CD⊥平面PAC…（6分）
（2）∵S_{四边形ABCD}=AB×AC=

3

…（9分）
∴V_P-ABCD=

1

3

×S_{四边形ABCD}×PA=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

…（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了棱柱、棱锥、棱台的体积的解法，体现了数形结合和等价转化的数学思想，属于中档题．