Question

在上海自贸区的利好刺激下，A公司开拓国际市场，基本形成了市场规模；自2014年1月以来的第n个月（2014年1月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量+出口量）分别为b_n、c_n和a_n（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：b_n+1=a•a_n，c_n+1=a_n+ba_n²（其中a，b为常数，n∈N^*），已知a₁=1万件，a₂=1.5万件，a₃=1.875万件．
（1）求a，b的值，并写出a_n+1与a_n满足的关系式；
（2）证明：a_n逐月递增且控制在2万件内；
（3）试求从2014年1月份以来的第n个月的销售总量a_n关于n的表达式．

Answer 1

考点：数列的应用,数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式

分析：（1）依题意：a_n+1=b_n+1+c_n+1=aa_n+a_n+ba_n²，将n取1，2，构建方程组，即可求得a，b的值，从而可得a_n+1与a_n满足的关系式；
（2）先证明an+1=2an-

1

2

an2=-

1

2

(an-2)2+2≤2，于是a_n＜2，再用作差法证明a_n+1＞a_n，从而可得结论；
（3）由an+1=2an-

1

2

an2得{log₂（2-a_n）-1}为等比数列，公比为2，首项为-1，从而可得结论．

解答： 解：（1）依题意：an+1=bn+1+cn+1=aan+an+ban2，
∴a2=aa1+a1+ba12，
∴a+1+b=

3

2

…①
又a3=aa2+a2+ba22，
∴

3

2

a+

3

2

+b(

3

2

)2=

15

8

…②
解①②得a=1，b=-

1

2

从而an+1=2an-

1

2

an2
（2）由于an+1=2an-

1

2

an2=-

1

2

(an-2)2+2≤2．
但a_n+1≠2，否则可推得a₁=a₂=2矛盾．
故a_n+1＜2，于是a_n＜2．
又an+1-an=-

1

2

an2+2an-an=-

1

2

an(an-2)＞0，
所以a_n+1＞a_n从而a_n＜a_n+1＜2．
（3）由an+1=2an-

1

2

an2得2(2-an+1)=(2-an)2，
又因为2-a_n+1＞0，2-a_n＞0，
则log₂（2-a_n+1）=2log₂（2-a_n）-1，
∴log₂（2-a_n+1）-1=2[log₂（2-a_n）-1]
即{log₂（2-a_n）-1}为等比数列，公比为2，首项为-1，
故log2(2-an)-1=-2n-1，
∴an=2-2(

1

2

)2n-1．

点评：本题考查数列的关系式，数学归纳法的应用，数列的函数特征，函数的单调性的应用，数列通项公式的求法，考查转化思想，逻辑推理能力．