Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁＝λ，a_n+1＝其中λ为实数，n为正整数．

(Ⅰ)对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；

(Ⅱ)试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；

(Ⅲ)设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22＝a1a3，即 　　矛盾． 　　所以｛an｝不是等比数列． 　　(Ⅱ)解：因为bn+1＝(－1)n+1[an+1－3(n－1)＋21]＝(－1)n+1(an－2n＋14) 　　＝(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn 　　又b1x－(λ＋18)，所以 　　当λ＝－18，bn＝0(n∈N+)，此时｛bn｝不是等比数列： 　　当λ≠－18时，b1＝(λ＋18)≠0，由上可知bn≠0，∴(n∈N+)． 　　故当λ≠－18时，数列｛bn｝是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列． 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当λ＝－18，bn＝0，Sn＝0，不满足题目要求． 　　∴λ≠－18，故知bn＝－(λ＋18)·(－)n－1，于是可得 　　Sn＝－ 　　要使a＜Sn＜b对任意正整数n成立， 　　即a＜－(λ＋18)·[1－(－)n]〈b(n∈N+) 　　　　① 　　当n为正奇数时，1＜f(n) 　　∴f(n)的最大值为f(1)＝，f(n)的最小值为f(2)＝， 　　于是，由①式得a＜－(λ＋18)，＜ 　　当a＜b3a时，由－b－18＝－3a－18，不存在实数满足题目要求； 　　当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b，且λ的取值范围是(－b－18，－3a－18)． 　　本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，(满分14分)