Question

2．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c且有20a$\overrightarrow{BC}$+15b$\overrightarrow{CA}$+12c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，则△ABC的形状为（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 钝角三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由条件求得（20a-15b）$\overrightarrow{AC}$+（12c-20a）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$．根据$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$不共线，求得b=$\frac{4}{3}$a，c=$\frac{5}{3}$a，利用勾股定理即可判断三角形的形状．

解答 解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
若20a$\overrightarrow{BC}$+15b$\overrightarrow{CA}$+12c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，
则20a（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）+15b$\overrightarrow{CA}$+12c$\overrightarrow{AB}$=（20a-15b）$\overrightarrow{AC}$+（12c-20a）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$．
∵$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$不共线，故有20a-15b=0，12c-20a=0．
∴b=$\frac{4}{3}$a，c=$\frac{5}{3}$a，
∴可得：a²+b²=c²，即△ABC的形状为直角三角形．
故选：C．

点评 本题考查平面向量基本定理与余弦定理的综合应用，求得b=$\frac{4}{3}$a，c=$\frac{5}{3}$a，是解题的关键，也是难点，考查运算求解能力，属于中档题．