Question

8．已知函数f（x）=$\sqrt{6}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}$+$\sqrt{2}{cos^2}\frac{x}{2}$
（1）将函数f（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，φ∈[0，2π））的形式；
（2）求f（x）的单调递减区间，并指出函数|f（x）|的最小正周期；
（3）求函数f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{6}}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及两角和与差正弦函数，化简求解即可．
（2）利用正弦函数的单调性化简求解单调区间，然后求解函数的周期．
（3）通过角的范围，求出相位的范围，利用正弦函数的最值求解即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{6}}}{2}sinx+\sqrt{2}（\frac{1+cosx}{2}）$=$\sqrt{2}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
（2）令$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
解得$2kπ+\frac{π}{3}≤x≤2kπ+\frac{4π}{3}$，
∴f（x）单调递减区间为$[{2kπ+\frac{π}{3}，2kπ+\frac{4π}{3}}]$，k∈Z．
∵f（x）的最小正周期为2π，
∴|f（x）|的最小正周期为2π（注意，因为上移了，所以|f（x）|周期没有改变）
（3）由$\frac{π}{4}≤x≤\frac{7π}{6}$得$\frac{5π}{12}≤x+\frac{π}{6}≤\frac{4π}{3}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{x+\frac{π}{6}}）≤1$
故当x=$\frac{7π}{6}$时，f（x）有最小值$\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{2}$；
当x=$\frac{π}{3}$时，f（x）有最大值$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的最值以及单调性三角函数的周期的求法，考查计算能力．