Question

20．滕州市正在积极创建国家森林城市，为加快生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x亿元，其中用于风景区改造的为y亿元．我市决定制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列两个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的25%．若每年改造生态环境的总费用至少1亿元，至多4亿元，请你分析能否采用函数模型y=$\frac{1}{100}$（x³+4x+16）作为生态环境改造投资方案．

Answer 1

分析 求导函数，可得函数的单调性，进而可求函数的最值，即可得到结论．

解答 解：∵y=$\frac{1}{100}$（x³+4x+16），
∴y′=$\frac{1}{100}（3{x}^{2}+4）$＞0，
∴函数y=$\frac{1}{100}$（x³+4x+16）是增函数，满足条件①．
设g（x）=$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{100}$（${x}^{2}+4+\frac{16}{x}$），
则g′（x）=$\frac{（x-2）（{x}^{2}+2x+4）}{50{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x=2．
当x＜2时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，2）上是减函数；
当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）在（2，+∞）上是增函数，
又a=1，b=4，即x∈[1，2]，g（x）在[1，2]上是减函数，在[1，4]上是增函数，
∴当x=2时，g（x）有最小值=16%＞15%，
当x=4时，g（x）=24%＜25%，x=1时，g（x）=25%≤25%．
∴能采用函数模型y=$\frac{1}{100}$（x³+4x+16）作为生态环境改造投资方案．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导是关键．