Question

【题目】已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为，左顶点为A，过点A的直线l与C交于另一个点M，且与直线x＝t交于点N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在实数t，使得为定值？若存在，求实数t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）存在，t

【解析】

（1）由题意可得b＝1，运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，c，进而得到椭圆方程；

（2）假设存在实数t＝t0，使得为定值．可设直线l的方程为y＝k（x+2），M（x0，y0），联立椭圆的方程，运用韦达定理，求得M的坐标，将t＝t0代入y＝k（x+2），求得N的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，结合定值，可得所求值．

（1）由题意可得2b＝2，即b＝1，e，a2﹣b2＝c2，

解得a＝2，c，则椭圆C的方程为y2＝1；

（2）假设存在实数t＝t0，使得为定值．

由题意可得直线l的斜率存在，由A（﹣2，0），可设直线l的方程为y＝k（x+2），M（x0，y0），

联立，可得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，

由韦达定理可得﹣2x0，即x0，y0＝k（x0+2），

即M（，），

将t＝t0代入y＝k（x+2），可得N（t0，k（t0+2）），

则，

若为定值，则，

span>解得t0，此时为定值，

所以存在实数t，使得为定值．