Question

【题目】已知定义在R上的函数在[1，2]上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线x对称，给出下列结论：

①；

②函数f（x）在[0，1]上有且仅有3个极值点；

③函数f（x）在上单调递增；

④函数f（x）的最小正周期是2．

其中所有正确结论的编号是（ ）

A.②③B.①④C.②③④D.①②

Answer 1

【答案】A

【解析】

先根据条件求得函数的解析式，再结合三角函数的性质判断选项即可．

因为曲线关于点（，0）对称，所以：ω+φ＝k1π；k1∈Z①

又因为其图象关于直线x对称，所以：ω+φ＝k2π，k2∈Z；②

由①②可得：ω＝[2（k1﹣k2）﹣1]π，即ω＝（2n﹣1）π，n∈Z；③

因为在[1，2]上有且仅有3个零点，

所以2﹣1，（ω＞0），即2π≤ω＜4π，④；

由③④可得ω＝3π；

∵f（）＝0，∴φ＝kπ，又|φ|，∴φ；

∴f（x）＝sin（3πx）；

所以易知f（）；∴①错误；

令3πx0kπ，则x0，（k∈Z）；令01，则可取k＝0，1，2；∴x0，，；∴②正确；

令2kπ≤3πx2kπk≤xk；k∈Z；当k＝﹣2时，[，]为f（x）的一个递增区间，而（，）[，]．∴f（x）在上单调递增，③正确；

∵f（x）＝sin（3πx）；∴T；④错误．

综上所述，其中正确的结论为②③；

故选：A．