Question

【题目】已知椭圆过点，且它的一个焦点与抛物线的焦点相同．直线过点，且与椭圆相交于两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线的一个方向向量为，求的面积（其中为坐标原点）；

（3）试问：在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）定点，定值.

【解析】

（1）直接根据椭圆过点，求出，再根据椭圆的一个焦点是抛物线抛物线的焦点，求得，再求出，得到椭圆的方程.

（2）先求出直线方程，与椭圆的方程联立，求出交点，再求出的面积.

（3）先设轴上是存在点使得为定值，设出直线，的坐标，表示出

，再分析怎样使为定值.

解：（1）椭圆过点，代入得，抛物线的焦点为，

得，得，故椭圆方程为．

（2），将直线与椭圆联立，解得，，

如图所示：

故．

（3）当直线斜率不为0时，设：，，，，

将与椭圆联立得，则有，，

则

由于该式不管取何值均为定值，故，得，定值为．

当直线斜率为0时，，，．

综上，定点，定值．