Question

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x-

3

y-4=0相切．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

（本小题共13分）
（Ⅰ）设圆O的半径为r，圆心为（0，0），
∵直线x-

3

y-4=0与圆O相切，
∴d=r=

|0- 3 ×0-4|

1+3

=2，…（3分）
则圆O的方程为x²+y²=4；…（5分）
（Ⅱ）在圆O上存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，理由为：
法1：∵直线l：y=kx+3与圆O相交于A，B两点，
∴圆心O到直线l的距离d=

3

1+k2

＜r=2，
解得：k＞

5

2

或k＜-

5

2

，…（7分）
假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，…（8分）
则OM与AB互相垂直且平分，…（9分）
∴圆心O到直线l：y=kx+3的距离d=

1

2

|OM|=1，…（10分）
即d=

3

1+k2

=1，整理得：k²=8，…（11分）
解得：k=±2

2

，经验证满足条件，…（12分）
则存在点M，使得四边形OAMB为菱形；…（13分）
法2：记OM与AB交于点C（x₀，y₀），
∵直线l斜率为k，显然k≠0，
∴OM直线方程为y=-

1

k

x，…（7分）
将直线l与直线OM联立得：

y=kx+3 y=- 1 k x

，
解得：

x0= -3k k2+1 y0= 3 k2+1

，
∴点M坐标为（

-6k

k2+1

，

6

k2+1

），…（9分）
又点M在圆上，将M坐标代入圆方程得：（

-6k

k2+1

）²+（

6

k2+1

）²=4，
解得：k²=8，…（11分）
解得：k=±2

2

，经验证满足条件，…（12分）
则存在点M，使得四边形OAMB为菱形．…（13分）