Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}满足a₂=3，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足bn=

an

an+1

+

an+1

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设cn=2n(

an+1

n

-λ)，若数列{c_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可求得数列{a_n}的首项与公差，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）a_n=n+1，可求得b_n=2+

1

n+1

-

1

n+2

，累加即可求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）依题意，应有c_n+1-c_n=2ⁿ（

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

-λ）＜0对n∈N^*都成立?

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

-λ＜0恒成立?λ＞(

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

)max，设f（n）=

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

，可求得f（n+1）-f（n）=

2(2-n)

n(n+1)(n+2)

，⇒f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…，从而可求f（n）_max，问题得到解决．

解答：解：（Ⅰ）由题知

a

2 3

=a₁a₇，设等差数列{a_n}的公差为d，
则(a1+2d)2=a₁（a₁+6d），
a₁d=2d²，∵d≠0
∴a₁=2d．                                                  …（1分）
又∵a₂=3，
∴a₁+d=3，
∴a₁=2，d=1…（2分）
∴a_n=n+1．                                                 …（3分）
（Ⅱ）∵b_n=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=2+

1

n+1

-

1

n+2

．            …（4分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（2+

1

2

-

1

3

）+（2+

1

3

-

1

4

）+…+（2+

1

n+1

-

1

n+2

）=2n+

n

2(n+2)

．                          …（6分）
（ III）c_n=2ⁿ（

an+1

n

-λ）=2ⁿ（

n+2

n

-λ），使数列{c_n}是单调递减数列，
则c_n+1-c_n=2ⁿ（

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

-λ）＜0对n∈N^*都成立    …（7分）
即

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

-λ＜0⇒λ＞(

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

)max…（8分）
设f（n）=

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

，
f（n+1）-f（n）=

2(n+4)

n+2

-

n+3

n+1

-

2(n+3)

n+1

+

n+2

n

=

2(n+4)

n+2

+

n+2

n

-

3(n+3)

n+1

=2+

4

n+2

+1+

2

n

-3-

6

n+1

=

2(2-n)

n(n+1)(n+2)

…（9分）
∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…
当n=2或n=3时，f（n）_max=

4

3

，
∴(

2(n+3)

n+1

-

n+2

n

)max=

4

3

所以λ＞

4

3

．               …（10分）

点评：本题考查数列的递推，考查数列的求和，突出考查累加法求和，考查构造函数思想与等价转化思想的综合应用，考查函数的单调性与推理分析的能力，属于难题．