Question

若f（x）=-

1

2

x2+bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，求b的取值范围．

Answer 1

分析：求出导数f′（x），则f（x）在（-1，+∞）上是减函数等价于-x+

b

x+2

≤0在（-1，+∞）上恒成立，分离参数b后，转化为求函数最值即可，根据二次函数的性质易求函数最值．

解答：解：f′（x）=-x+

b

x+2

，
故f（x）在（-1，+∞）上是减函数等价于-x+

b

x+2

≤0在（-1，+∞）上恒成立，
由x＞-1得x+2＞0，
原命题成立等价于b≤x²+2x在（-1，+∞）上恒成立，
又y=x²+2x在（-1，+∞）上单调递增，x²+2x＞-1，
故b≤-1，
故b的取值范围为（-∞，-1]．

点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，可导函数f（x）在（a，b）上单调递增的充要条件为f′（x）≥0．