Question

设函数f（x）=x³+ax²-12x的导函数为f′（x），若f′（x）的图象关于y轴对称．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析：（I）f′（x）=3x²+2ax-12，由于f′（x）的图象关于y轴对称，即可得出a=0．进而得到f（x）．
（II）令f′（x）=0，解得x=±2．列表即可得出极值．

解答：解：（I）f′（x）=3x²+2ax-12，∵f′（x）的图象关于y轴对称，∴a=0．
∴f（x）=x³-12x．
（II）由（I）可得f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，解得x=±2．列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：当x=-2时，函数f（x）取得极大值，且f（-2）=16；当x=2时，函数f（x）取得极小值，
且f（2）=-16．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、二次函数的对称性等是解题的关键．