Question

经过点M（2，1）作直线L，交椭圆

x2

16

+

y2

4

=1于A、B两点．如果点M恰好为线段AB的三等分点，求直线L的方程．（用普通方法求解，不用参数方程）

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：推理和证明

分析：根据三等分点坐标公式，设A（2+h，1+k），B（2-2h，1-2k），代入到椭圆方程中，化简计算k，h的值，求出斜率，问题得以解决．

解答： 解：M是AB的三等分点，设A（2+h，1+k），B（2-2h，1-2k），A，B在椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上，
∴

(2+h)2 16 + (1+k)2 4 =1，① (2-2h)2 16 + (1-2k)2 4 =1，②

①×4-②得，

3+6h

4

+

3+12k

4

=3，
∴h=1-2k，③
把③代入①得，

(3-2k)2

16

+

(1+k)2

4

=1，
∴8k²-4k-3=0，
解得k=

1± 7

4

，
代入③，h=

1± 7

2

∴

k

h

=-

1

6

×(4±

7

)，
∴L的方程是y-1=-

4± 7

6

（x-2），
即（4+

7

）x+6y-（14+2

7

）=0，或（4-

7

）x+6y-（14-2

7

）=0．

点评：本题主要考查了椭圆的性质和直线和椭圆相交的问题，属于中档题．